Makalah
Pertidaksamaan Linear
 |
Nama
Kelompok 3 :
1.
Aisyah Nurhasana
2.
Pisi Anggraini
3.
Een Novita
4.
Feri Oki Pranata
5
.Een Novita Sari
DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
SMAN 7 BENGKULU SELATAN
2019
Kata Pengantar
Puji syukur kita
panjatkan kehadirat Allah SWT, dengan rahmat dankaruniaNYA penyusunan
makalah ini selesai sesuai dengan apa yangdiharapkan.
Shalawat serta salam
selalu tercurahkan kepada junjungan kitanabi besar Muhammad SAW dan tak
lupa saya ucapkan terimakasih atassemua pihak yang ikut membantu
penyusunan makalah tentang Persamaandan tidak persamaan.
Semoga semua ini
bisa memberikan sedikit kebahagiaan dan menuntun padalangkah yang lebih baik
lagi. Meskipun saya berharap isi dari makalah ini bebasdari kekurangan dan
kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karenaitu, penulis mengharapkan
kritik dan saran yang membangun agar skripsi inidapat lebih baik lagi. Akhir
kata saya berharap agar makalah ini bermanfaatbagi semua pembaca
Penulis,
DAFTAR ISI
Kata Pengantar…………………………………………………………
Daftar Isi……………………………………………………………..
BAB I Pendahuluan
A. Latar Belakang…………………………………………..
B. Rumusan
Masalah ………………………………………..
C. Tujuan dan Manfaat……………………………………..
BAB II Pembahasan
A.Pengertian Sistem persamaan Linear……………………..
B. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu
Variable …….
C. Sistem Persamaan Linear Dua Variable (SPLDV)………………….
D. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV) ………………….
BAB III Penutup
A. Kesimpulan ……………………………………………………………
B. Saran……………………………………………………………
Daftar Pustaka
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang
Dalam era informasi dan
era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam
penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan
manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains
dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21
diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu
memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan
kualitas manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya
kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk
itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan
lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia
Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan
datang (Semiawan, 1991 : 35). Dari itu semua, tidak dapat dipungkiri bahwa ilmu
matematika terutama sistem persamaan linear dapat ditemukan hampir di semua
cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik
potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi
statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama
dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel.
Sehingga sistem persamaan linear ini menjadi sangat penting untuk dipelajari
terutama ketika seseorang sedang menempuh jenjang pendidikan di bangku sekolah,
baik dari jenjang pendidikan sekolah dasar, sekolah menengah mupun sekolah
tinggi. 2 Itulah sebabnya makalah ini disusun dengan harapan dapat membantu
para pembaca dalam memahami sistem persamaan dan pertidaksamaan linear juga
program linear terutama penyusun sendiri dan rekan-rekan yang sedang menempuh
jenjang pendidikan tinggi sebagai seorang calon guru dimasa mendatang, supaya
dapat menjadi guru yang baik yang sesuai dengan harapan bangsa agar dapat
mewujudkan bangsa Indonesia yang maju dan bersaing dalam dunia IPTEK.
B. Rumusan
Masalah
Apa itu system
persamaan atau sistem pertidaksamaan linear dan program linear serta bagaimana
menyelesaikan soal program linear dan sistem persamaan linear atau sistem
pertidak samaan liniar, baik dari sistem persamaan liniar satu varibel, sistem
persamaan linear dua variable (SPLDV), sistem pertidaksamaan linear dua
variable (SPTLDV), sistem persamaan linear tiga variavel (SPLTV) dan sistem
pertidaksamaan linear tiga variable (SPTLTV).
C. Tujuan dan Manfaat
Sesuai dengan rumusan masalah di atas maka
tujuan dari penyusunan makalah ini yaitu untuk membantu para pembaca terutama
penyusun dan rekanrekan didalam memahami sistem persamaan atau system
pertidaksamaan linear dan program linear serta memahami bagaimana menyelesaikan
soal program linear dan sistem persamaan linear atau sistem pertidak samaan
liniar, baik dari sistem persamaan liniar satu varibel, sistem persamaan linear
dua variable (SPLDV), sistem pertidaksamaan linear dua variable (SPTLDV),
sistem persamaan linear tiga variavel (SPLTV) dan sistem pertidaksamaan linear
tiga variable (SPTLTV).
BAB II
PEMBAHASAN
A.Pengertian
Sistem persamaan Linear
Secara intuitif,
persamaan linear adalah persamaan dimana variavel atau peubahnya tidak memuat
eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian
dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Jadi, sistem persamaan linear
merupakan sekumpulan pesamaan linear yang memuat sejumlah hingga variable atau
peubah bebas yang saling terkait. Definisi: secara umum sebuah persamaan linear
dalam 𝑛 variabel 𝑥1
,2 ,…..𝑥𝑛 , dapat dinyatakan dalam bentuk : 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥 2 + …….𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 dengan 𝑎1, 𝑎2,… 𝑎𝑛 dan 𝑏
konstanta real. Contoh : Persamaan berikut merupakan persamaan linear : a. 𝑥 + 3𝑦 = 7 b. 〱 = 5𝑥 + 3𝑧 + 1 Persamaan berikut bukan persamaan linear : c. 𝑥 2 + 3𝑦
= 5 d. 𝑦 − sin 𝑥
= 0 Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam
𝑛 variabel 𝑥1,𝑥2,… , 𝑥𝑛 dinamakan sistem persamaan linear atau sistem
linear. Bentuk umum persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari 𝑚 persamaan dan 𝑛
variabel 𝑥1,2,…, 𝑥𝑛 dapat ditulis sebagai : 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +… + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +… + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 4 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +… + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
= 𝑏𝑚, Dengan 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏1(1
≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) adalah
konstanta-konstanta real. Contoh : a. SPL 2 persamaan 2 variabel : 𝑥1 + 2𝑥2
= 5 2𝑥1 + 3𝑥2
= 8 b. SPL 2 persamaan 3 variabel : 𝑥1
− 𝑥2 + 𝑥3 = 2 2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 4 c. SPL 3 persamaan 2 variabel : 𝑥1 + 𝑥2 = 2 𝑥1 − 𝑥2 = 1 𝑥1 = 4
B. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu
Variable
1. Sistem Persaman
Linear Satu Variable Sistem persaman linear satu variable adalah persamaan yang
hanya memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan variabelnya
berpangkat satu. Untuk penyelesaian dari persamaan linear satu variabel dapat
digunakan beberapa cara. Salah satu diantaranya dengan sifat kesamaan.
Perhatikan uraian persamaan berikut. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan dan
pelajari contoh berikut. Contoh 1: Tentukan penyelesaian dari persamaan linear
satu variabel berikut 3𝑎 − 7 = 11 5
Penyelesaian. 3𝑎 − 7 = 11 3𝑎
− 7 + 7 = 11 + 7 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎 7) 3𝑎
3 = 18 3 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 3) 𝑎 = 6 Jadi
Himpunan penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = {6} Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari
persamaan linear satu variable berikut 5𝑏
+ 9 = 24 Penyelesaian 5𝑏 + 9 = 24 5𝑏 + 9 − 9 = 24 − 9 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖 9) 5𝑏
5 = 15 5 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖
〱𝑎 𝑏𝑎𝑔𝑖 5) 𝑏 = 3 Jadi
Himpunan penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = {3} 2. Pertitadsamaan Linear Satu Variabel
Pertidak samaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memiliki
satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan variabelnya berpangkat satu.
Pertidaksamaan ditandai dengan adanya symbol dari pertidaksamaan yaitu : - <
(𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑟𝑖) - > (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝑙𝑒𝑏𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖) - ≤ (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛) - ≥ (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝑙𝑒𝑏𝑖 𝑑𝑎
换𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛)
Selain itu, ada hal
yang perlu kita perhatikan dalam system pertidaksamaan yaitu berubahnya tanda
atau symbol pada saat pengoprasian yaitu: - Dari < 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 > - Dari ≤ 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 ≥ Baik keduanya akan berubah tanda pada
pengoprasian apabila dikalikan atau dibagi dengan bilangan − (negative). Untuk
lebih jelasnya, , coba perhatikan dan pelajari contoh berikut. Contoh 1 :
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan satu variable berikut 2𝑎 − 3 ≥ 0 Penyelesaian 2𝑎 − 3 ≥ 0 2𝑎
− 3 + 3 ≥ 0 + 3 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎 3) 2𝑎
2 ≥ 3 2 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 2) 𝑎 ≥ 3 2 Jadi
Himpunan penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = { 𝑎
≥ 3 2 } Contoh 2 : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan satu variable
berikut −2𝑥 + 1 < 5 Penyelesaian −2𝑥 + 1 < 5 −2𝑥
+ 1 − 1 < 5 − 1 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖 1) 7 Perhatikan kembali koefesien dari 𝑥 yaitu −2 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 maka aka berubah tanda dari < 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 >, sehingga −2𝑥
−2 > 4 −2 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢��𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 − 2) 𝑥
> −2 Jai Himpunan Penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = {𝑥 > −2}
C.
Sistem Persamaan Linear Dua Variable (SPLDV)
1. Sistem Persamaan
Linear Dua Variable Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan
linear dua variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai
satu penyelesaian. Bentuk umum SPLDV : ax + by = c px + qy = r dengan x , y
disebut variabel a, b, p, q disebut koeifisien c , r disebut konstanta Nilai x
dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dinamakan penyelesaian sistem
persamaan linear. Metode Penyelesain System Persamaan Linear Dua Variabel a.
Metode Substitusi Yaitu metode yang dilakukan dengan cara mengganti salah satu
varabel dengan varibel yang lain. Contoh : Tentukan penyelesaian dari sistem
persamaan : 2𝑥 = 3𝑦 = −1 𝑥 = 𝑦 = −5 Jawab : 𝑥 = 𝑦 = −1 → 𝑦 = −1 − 𝑥
8 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒
2𝑥 + 3𝑦 = −1 2𝑥 = 3 −1 − 𝑥
= −1 2𝑥 − 3 − 3𝑥
= −1 −𝑥 = 2 → 𝑥
= −2 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒
𝑦 = −1 − 𝑥
𝑦 = −1 − −2 = 1 Jadi, 𝐻𝑃{(−2,1)} b. Metode Eliminasi Yaitu metode dengan
menghilangkan salah satu variabel untuk memperoleh nilai dari variabel yang
lain. Contoh : a) Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian dari:
2𝑥 + 3𝑦 = 16 3𝑥 − 𝑦 = 13 Jawab : 2𝑥 + 3𝑦 = 16 (× 1) 3𝑥 − 𝑦 = 13 (× 3) 2𝑥 + 3𝑦 = 16 9𝑥 − 3𝑦 = 39 + 11𝑥 = 55 𝑥
= 5 2𝑥 + 3𝑦 = 16 (× 3) 3𝑥 − 𝑦 = 13 (× 2) 6𝑥 + 9𝑦 = 48 6𝑥 − 2𝑦 = 26 + 11𝑦 = 22 𝑦
= 2 Jadi, 𝐻𝑃{ 5,2 } 9 b) Carilah himpunan penyelesaian sistem
persamaan: 4 𝑥 + 3 𝑦
= 3 8 𝑥 − 6 𝑦
= 2 Jawab : Missal 1 𝑥 = 𝑝 𝑑𝑎𝑛
1 𝑦 = 𝑞, 𝑠𝑒𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑑𝑖
𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 ∶ 4𝑝 + 3𝑞 = 3 8𝑝 − 6𝑞 = 2 8𝑝 + 6𝑞 = 6 8𝑝 − 6𝑞 = 2 + 16𝑝 = 8 𝑝
= 1 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 𝑥 = 1 2 → 𝑥 = 2 4𝑝
+ 3𝑞 = 3 8𝑝
− 6𝑞 = 2 8𝑝
+ 6𝑞 = 6 8𝑝
− 6𝑞 = 2 − 12𝑞
= 4 𝑞 = 1 3 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 𝑦 = 1 3 → 𝑦 = 3 jadi,𝐻𝑃{ 2,3 } c. Metode Campuran Substitusi dan Eliminasi
Contoh : Tentukan himpunan penyelsaian dari sistem persamaan: 2 㳄 − 𝑦 = 8 𝑥 + 2 = −1
Jawab : 2𝑥 − 𝑦 = 8 × 1 2𝑥 − 𝑦 = 8 𝑥 + 2 = −1 × 2 2𝑥
+ 4𝑦 = −2 − −5𝑦
= 10 𝑦 = −2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 = −2 𝑠𝑢𝑏𝑠��𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒
𝑥 + 2𝑦 = −1 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 : 𝑥 + 2 −2 = −1 𝑥 − 4 = −1 → 𝑥
= 3 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝐻𝑃{
3,2 } d. Metode grafik Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode
grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan
representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya
adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun
bidang-bidang planar itu. Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan
liniear dengan dua variabel berikut ini. x + y = 3 (1) 2x − y = − 3 (2) Gambar
kedua garis dari persamaan-persamaan di atas 11 Seperti terlihat pada grafik di
atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini
adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3. 2.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variable Sistem persamaan linear dua variabel
adalah gabungan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang
variabel-variabelnya saling berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari
sistem pertidaksamaan tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih
pertidaksamaan itu. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :
ax + by > c ax + by < c ax + by ≥ c ax + by ≤ c Tanda ketidaksamaan dapat
meliputi ≤, ≥, . 12 Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya
berikut. Contoh 1 Diketahui sistem pertidaksamaan berikut. x + y ≤ 10 2x + 3y ≤
24 x ≥ 0, y ≥ 0 Jawaban: Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan
sumbu Y di (10, 0) dan (0,10). Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap
sumbu X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,8). Titik (0, 0) memenuhi sistem
petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah
penyelesaian sistem persamaan tersebut. Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV
tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.
Contoh 2 Diketahui
sistem pertidaksamaan berikut. x + y ≥ 8 5x + 3y ≥ 30 x ≥ 0, y ≥ 0 Jawaban:
Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (8, 0) dan
(0,8). Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (6,
0) dan (0,10). Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas
sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian sistem
persamaan tersebut. Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat
digambarkan seperti di bawah ini. 14 Contoh 3 Diketahui sistem pertidaksamaan
berikut. x + y ≤ 12 2x + 5y ≥ 40 x ≥ 0, y ≥ 0 Jawaban: Persamaan x + y = 12
berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,12). Persamaan 2x +
5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (20, 0) dan (0, 8). Titik
(0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang memuat (0,
0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12. Titik (0, 0) tidak
memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga daerah yang memuat (0, 0)
bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan2x + 5y ≥ 40 . Sehingga
daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.
15 Demikian penjelasan tentang Pertidaksamaan dan Sistem prtidaksamaan linear
dua variable
D. Sistem
Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear
Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.
Bentuk Umum SPLTV: Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:
a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 RÎdengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2,
d3, Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x
+ b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z = d3 merupakan persamaan di R3 . Ketiga
bidang tersebut dapat saling berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau
tidak berpotongan. 1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa
titik, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan
penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong tersebut.
Dari gambar di atas terlihat, bahwa ketiga bidang bertemu (berpotongan) di satu
titik, yaitu titik (x1, y1, z1). a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 (x1,
y1, z1) a1x + b1y + c1z = d1 Titik potong 16 Jadi titik (x1, y1, z1) merupakan
penyelesaian tunggal dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut. 2)
Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka SPLTV
tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu titiktitik pada garis
potong ketiga bidang tersebut. Terlihat pada gambar di atas, bahwa ketiga
bidang berpotongan pada satu garis. Jadi titik-titik pada garis berpotongan
merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut. Dengan kata lain SPLTV tersebut
mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai
lebih dari satu penyelesaian). 3) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama
sekali, maka SPLTV tersebut dapat digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut
ini. Terlihat pada gambar di atas bahwa, ketiga bidang tidak mempunyai titik
atau garis potong. Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai anggota dalam
himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah himpunan kosong).
Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara/metode
antara lain: 1) Metode substitusi 2) Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan
substitusi 3) Metode determinan 1. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi
Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode
substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut: 1) Pilihlah salah satu
persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z,
atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
2) Substitusikan x atau
y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1) ke dalam dua persamaan yang
lainnya sehingga diperoleh SPLDV. 3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada
langkah kedua (2) Contoh: Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi
x + y + 2x = 9 ……….. (1)
2x + 4y – 3z = 1 ……..
(2)
3x + 6y – 5z = 0 ……..
(3)
Jawab: - Dari persamaan (1), kita dapatkan x =
9 – y – 2z ……….. (4) - Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)
2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1 2y – 7 z =
-17 ………………………………………………. (5)
ó
Dan 3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0 3y – 11z
= -27 ……………………………………………….(6)
ó
Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini. 2y – 7z = -17 ………………………………………………… (5) 3y
– 11z = -27 ……………………………………………….. (6) Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y
dan z dengan cara substitusi seperti pada SPLDV. - Dari persamaan (5)
diperoleh: y = 2 7e+17 -
…………………. (7) - Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6) 11 27 2 17 7 - =
- ÷3 ø ö
ç è +
- æ z e 18 -51 +
21z – 22z = -54ó -z = -3ó z = 3ó - Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan
(7), diperoleh nilai y = 2 - Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4)
diperoleh nilai x= 1. - Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal
yaitu (1,2,3) atau Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}. 2. Menyelesaian
SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi Untuk menentukan penyelesaian/himpunan
penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV). 2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari
langkah (1) 3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada
langkahlangkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai
variabel yang lainnya. Contoh: 1) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut
dengan Eliminasi x + y + 2z = 9 ………………. (1) 2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2) 3x + 6y
– 5z = 0 ……………. (3) 19 Jawab - Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga
diperoleh: 3x + 3y + 6z = 27óx + y + 2z = 9 | x 3 4x + 8y – 6z = 2 +ó2x + 4y – 3z = 1 | x 2 7x + 11y = 29 ……………..(4) - Eliminasi z dari
persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan: 10x + 20y - 15z = 5ó2x + 4y - 3z = 1 | x 5 9x + 18y – 15z = 0 _ó3x + 6y – 5z = 0 | x 3 x + 2y = 5 ………….. (5) - Dari persamaan (4)
dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu: 7x + 11y = 29 …………… (4) x + 2y = 5 …………….. (5)
- Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y 7x + 11y = 29ó7x + 11y = 29 | x1
7x + 14y = 35 _óx
+ 2y = 5 | x7 -3y = -6 y = 2 - Eliminasi
y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x
14x + 22y = 58ó7x
+ 11y = 29 | x2 11x + 22y = 55 _óx + 2y = 5 | x11
3x = 3 x = 1 - Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang
paling sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z x + y + 2x =
9
1 + 1 + 2z = 9ó 2z = 6 z = 3
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau (1, 2, 3)\ Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)} 2)
Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi 2x + y – z = 2 ………………
(1) x – 2y + 3x = 1 ……………. (2) 3x – y + 2z = 3 …………….. (3) 3. Menyelesaikan
SPLTV dengan Metode Determinan Jika bentuk umum SPLTV: a1x + b1y + c1z = d1
…………………………………………………… (1) a2x + b2y + c2z = d2 …………………………………………………… (2) a3x +
b3y + c3z = d3 …………………………………………………… (3) maka: D = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c a b c
a b c Dx = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 d b c d b c d b c Dy = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a d c a d
c a d c 21 Dz = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b d a b d a b d Penyelesaian SPLTV tersebut
adalah: x = D Dx y = D Dy z = D Dz 0,
maka SPLTV tersebut¹
0, Dz ¹
0, Dy ¹
0, Dx ¹1)
Jika D mempunyai satu anggota dalam
himpunan penyelesaiannya. 0, maka SPLTV
tersebut tidak¹
0, Dz ¹
0, Dy ¹2)
Jika D = 0, Dx memiliki anggota dalam
himpunan penyelesaiannya. 3) Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut
mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Contoh: 1)
Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + y + z
= 1 x + 2y + 3z = 5 3x + 2y – z = -9 Jawab : D = 2 2 1 3 1 1 3 2 1 1 2 3 1 1 1 - -
- - - - + + + =
[(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 6 22 Dx
= 2 2 1 9 5 1 - 9 2 1 5 2 3 -1 1 1 - -
- - -
- - - + + + = [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] –
[(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)] = 18 Dy = 9 5 1 3 1 1 3 9 1 1 5 3 1 -1 1 - -
- - - - - + + + = [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] –
[(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)] = -126 Dz = 2 2 1 3 1 1 3 2 9 1 2 5 1 1 -1 - -
- - - - + + + =
[(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 24 x =
3 6 18 -
= - =
D Dx y = 2 6 12 -
= - =
D Dy z = 4 6 24 =
= D Dz HP = {(-3,-2,4)}\ SPLTV punya satu anggota dalam HP nya
2) Dengan metode
Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + 2y - z = 6 x + y +
2z = 7 2x + 2y + 4z = 5 Jawab : D = 2 1 2 2 1 1 3 2 4 1 1 2 1 2 -1 - - - + + +
= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] – [(2)(2)(1) + (1)(2)(2) + (4)(1)(2)] =
0 Dx = 2 1 2 5 7 6 5 2 4 7 1 2 6 2 -1 - - - + + + = [(6)(1)(4) + (2)(2)(5) +
(-1)(7)(2)] – [(9)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)] = -45 Dy = 2 7 6 2 1 1 2 5 4
1 7 2 1 6 -1 - - - + + + = [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(5)] – [(2)(7)(-1) +
(5)(2)(1) + (4)(1)(6)] = 27 24 Dz = 2 1 1 2 1 1 2 2 5 1 1 7 1 2 6 - - - + + + =
[(1)(1)(5) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] – [(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (5)(1)(2)] = 9 x
= ~ 0 45 =
- = D Dx (Tak terhingga) y = ~ 0 27 = =
D Dy (Tak terhingga) z = ~ 0 9 =
= D Dz (Tak terhingga)
E. PROGRAM LINIER Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah
dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian,
dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum
(penyelesaian optimum). Soal No. 1 Luas daerah parkir 1.760 m2 . Luas rata-rata
untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2 . Daya tampung maksimum hanya 200
kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp
2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi
dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah.... A. Rp 176.000,00
B. Rp 200.000,00 C. Rp 260.000,00 SPLTV
tak punya anggota\
dalam HP nya. 25 D. Rp 300.000,00 E. Rp 340.000,00 Pembahasan Membuat model
matematika dari soal cerita di atas Misal: mobil kecil sebagai x, mobil besar
sebagai y. Luas parkir 1760 m2 : 4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi x + 5y
≤ 440.......(Garis I) Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan: x + y ≤ 200
..............(Garis II) Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran: f(x, y) =
1000 x + 2000 y Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2 Ubah tanda lebih besar atau
lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu, Garis 1 x + 5y = 440
Titik potong sumbu x, y = 0 x + 5(0) = 440 x = 440 Dapat titik (440, 0) Titik
potong sumbu y, x =0 0 + 5y = 440 y = 440/5 = 88 Dapat titik (0, 88) Garis 2 x
+ y = 200
Titik potong sumbu x, y
= 0 x + 0 = 200 x = 200 Dapat titik (200, 0) Titik potong sumbu y, x =0 0 + y =
200 y = 200 Dapat titik (0, 200) Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2
Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi. x + 5y
= 440 x + y = 200 ____________ _ 4y = 240 y = 60 x + y =200 x + 60 = 200 x =
140 Titik potong kedua garis aalah (140, 60) Berikut lukisan kedua garis dan
titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua
pertidaksamaan di atas. Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:
Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y
27 Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0 Titik (200,0) → f(x, y) =
1000 (200) + 2000 (0) = 200 000 Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) =
176 000 Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000 Dari uji
titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000 Soal No. 2 Daerah yang
diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan
linear. Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah.... A . 88 B. 94 C. 102
D. 106 E. 196 Pembahasan Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan
titik potongnya: Cara pertama dalam membuat persamaan garis y − y1 = m (x − x1)
dengan m = Δy/Δx Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah
m = 28 20/−12 = − 5/3 y − 20 = − 5/3 (x − 0) y − 20 = − 5/3 x y + 5/3 x = 20 3y
+ 5x = 60 Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) : m = 15/−18 =
− 5/6 y − 15 = − 5/6 (x − 0) y + 5/6 x = 15 6y + 5x = 90 Cara kedua dalam
membuat persamaan garis bx + ay = ab Untuk garis yang memotong sumbu x di 12
dan y di 20 adalah: 20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi 5x + 3y = 60 Untuk garis
yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah: 15x + 18y = 270 sederhanakan
lagi 5x + 6y = 90 Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90 3y + 5x =
60 _________ - 3y = 30 y = 10 3(10) + 5x = 60 5x = 30 x = 6 Titik potong kedua
garis adalah (6, 10) Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y Titik (0, 0) → f (x, y) =
7(0) + 6(0) = 0 Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84 Titik (0, 15) → f
(x, y) = 7(0) + 6(15) = 90 Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102 Nilai
maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102 Soal No. 3 Suatu perusahaan
meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang
jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang
jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga
Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per
unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing
barang harus dibuat? A. 6 jenis I B. 12 jenis II C. 6 jenis I dan 6 jenis II D.
3 jenis I dan 9 jenis II E. 9 jenis I dan 3 jenis II 30 Pembahasan Barang I
akan dibuat sebanyak x unit Barang II akan dibuat sebanyak y unit Ilustrasi
berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya: x + 3y ≤ 18 2x + 2y ≤
24 Fungsi objektifnya: f(x, y) = 250000 x + 400000 y Titik potong x + 3y = 18
|x2| 2x + 2y = 24 |x 1| 2x + 6y = 36 2x + 2y = 24 ____________ _ 4y = 12 y = 3
2x + 6(3) = 36 2x = 18 x = 9 Titik potong kedua garis (9, 3) Berikut grafik
selengkapnya: 31 Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y Titik (0,0) f(x, y)
= 250000 (0) + 400000 (0) = 0 Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0)
= 3000 000 Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000 Titik (0,
6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000 Dari uji titik terlihat hasil
maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis
II.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan
pesamaan linear yangØ
memuat sejumlah hingga variabel atau peubah bebas yang saling terkait. Sistem persamaan linear dikelompokkan menjadi
tiga yaitu :Ø
1. Sistem persamaan
linear satu variabel
2. Sistem persamaan
linear dua variable (SPLDV)
3. Sistem persamaan linear tiga variable
(SPLTV)
Sistem persaman linear satu variable adalah
persamaan yang hanyaØ
memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan variabelnya
berpangkat satu. Sistem persamaan linear
dua variable adalah dua persamaan linear duaØ variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya
dan mempunyai satu penyelesaian. Sistem
Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yangØ terdiri dari Tiga Variabel/Peubah. Program Linear adalah suatu cara untuk
penyelesaian masalah denganØ
menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak
penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang
maksimum/minimum (penyelesaian optimum).
B.
Saran
Untuk pembaca yang budiman, semoga tulisan ini
bisa memberikan manfaat yang besar namun mengingat keterbatasan kami yang masih
banyak maka dari itu kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca semua agar
bisa memberikan perubahan untuk kami berikutnya
No comments:
Post a Comment